For Informatics: ДНФ и СДНФ

Дизъюнктивная нормальная форма

Дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма (ДНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов. Любая булева формула может быть приведена к ДНФ.

Формулы в ДНФ:

A \or B

(A \and B) \or \neg A

(A \and B \and \neg C) \or (\neg D \and E \and F) \or (C \and D) \or B

Формулы не в ДНФ:

\neg(A \or B)

A \or (B \and (C \or D))

Алгоритм построения ДНФ

1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:

A \rightarrow B = \neg A \vee B

A \leftrightarrow B = (A \wedge B) \vee (\neg A \wedge \neg B)

2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:

\neg (A \vee B) = \neg A \wedge \neg B

\neg (A \wedge B) = \neg A \vee \neg B

3) Избавиться от знаков двойного отрицания.

4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.

Пример построения ДНФ

Приведем к ДНФ формулу :

F = ((X \rightarrow Y) \downarrow \neg (Y \rightarrow Z))

Выразим логические операции → и ↓ через :

\vee \wedge \neg

F = ((\neg X \vee Y) \downarrow \neg(\neg Y \vee Z)) = \neg ((\neg X \vee Y) \vee \neg (\neg Y \vee Z))

В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:

F = \neg ((\neg X \vee Y) \vee \neg (\neg Y \vee Z)) = (\neg \neg X \wedge \neg Y) \wedge (\neg Y \vee Z) = (X \wedge \neg Y) \wedge (\neg Y \vee Z)

Используя закон дистрибутивности, получаем:

F = (X \wedge \neg Y \wedge \neg Y) \vee (X \wedge \neg Y \wedge Z)

Используя идемпотентность конъюкции, получаем ДНФ:

F = (X \wedge \neg Y ) \vee (X \wedge \neg Y \wedge Z)

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Соверше́нная дизъюнкти́вная норма́льная фо́рма (СДНФ) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций
в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв
каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причём в одинаковом порядке.

Для любой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причём единственная.

Для того, чтобы получить СДНФ функции, требуется составить её таблицу истинности. К примеру, возьмём одну из таблиц истинности:

$x_1$	$x_2$	$x_3$	$f(x_1, x_2, x_3)$
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	0

В ячейках результата

f(x_1, x_2, x_3)

отмечаются лишь те комбинации, которые приводят логическое выражение в состояние единицы. Далее рассматриваются значения переменных при которых функция равна 1. Если значение переменной равно 0, то она записывается с инверсией. Если значение переменной равно 1, то без инверсии.

Первая строка содержит 1 в указанном поле. Отмечаются значения всех трёх переменных, это:

$x_1 = 0$
$x_2 = 0$
$x_3 = 0$

Нулевые значения — тут все переменные представлены нулями — записываются в конечном выражении инверсией этой переменной. Первый член СДНФ рассматриваемой функции выглядит так: